Прикладная математика – что это?

Математики БелГУ не страдают от недостатка задач, но они всегда открыты для сотрудничества.

Настоящие заметки не претендуют на строгое исследование с точными формулировками и исчерпывающими примерами. Это некоторые наблюдения и выводы человека, всю свою жизнь проработавшего в математике и, как я надеюсь, в прикладной математике. Само понятие прикладной математики в настоящее время стало достаточно широким. Уже в 60-е годы прошлого столетия появилась математическая лингвистика. Я и тогда сомневался в том, что это наука имеет какое-то отношение к математике, а сейчас просто не знаю, существует ли она. Потом появились математическая биология, финансовая математика и так далее. По своей сути все эти науки должны быть разделами прикладной математики, хотя исторически сложилось так, что под прикладной математикой в первую очередь понималась математика, изучающая математические проблемы в классической механике (как теоретической, так и механике сплошных сред). Сама математика, или, по крайней мере, ее ведущие разделы, такие как математический анализ и теория дифференциальных уравнений, развивались в тесном взаимодействии и под мощным воздействием насущных проблем механики. Почти все великие математики прошлых столетий отметились блестящими результатами именно в классической механике, не исключая последнее, 20-е столетие.

Когда я был студентом Новосибирского университета, кафедрой дифференциальных уравнений заведовал С.Л. Соболев - математик, давший жизнь такому важному направлению в математике как обобщенные функции, обобщенные производные и теоремы вложения. Человек очень скромный, он достаточно трезво оценивал именно этот свой вклад в науку. Выступая на одном из своих юбилеев, он заметил, что особой заслуги в этом нет, просто он очень хорошо умел считать интегралы. Конечно же, это не так, и об этом говорит его авторитет среди математиков последнего столетия. Но ведь чем Сергей Львович по настоящему гордился - это своими результатами в теории равновесных форм вращающейся жидкости. Именно результатами в прикладной математике.

В те годы, даже будучи студентами, мы хорошо представляли, что есть что. Конечно же, этому способствовала сама структура Академгородка: вся современная наука (или почти вся) была представлена соответствующими научными институтами - ядерная физика, цитология и генетика, экономика, неорганическая химия, гидродинамика… И конечно же ведущие ученые, собранные в одном месте ( по своей воле!) и в одно время.

Я со второго курса посещал институт гидродинамики, его теоретический отдел. Возглавлял его Лев Васильевич Овсянников - блестящий (я постоянно пытаюсь воздержаться от превосходных эпитетов, просто не люблю такой стиль, но здесь ничего не могу поделать) математик и механик. Человек глубокий, рациональный и методичный, он с первых шагов приучал нас к точным формулировкам и пониманию своего места в общей иерархии науки. При этом мы как-то незаметно впитали в себя общее тогда спокойное (и даже ироничное) отношение и к себе, и к своему месту в науке. Гностики или агностики, мы это прочувствовали не на уроках философии, а на лекциях Овсянникова. Природа имманентна, никто не в состоянии узнать ее законов (если даже они и существуют!), и все законы природы, что мы формулируем, это всего лишь наши (исследователей) аксиомы о предполагаемой структуре изучаемого объекта, позволяющие построить физическую (химическую или биологическую) модель объекта.

Математическая же модель объекта - это всего лишь выражение указанных аксиом языком уравнений. Как правило, таковыми являются дифференциальные уравнения. Вот это и есть наша вотчина - прикладная математика. Я уже отмечал, что исторически прикладная математика исследовала математические модели механики.

Следует сказать также о математической и теоретической физике. Так уж сложилось, что физики сформулировав математические модели сами же (и вполне успешно) разрабатывали соответствующий математический аппарат. Что же требовалось от математиков при исследовании математической модели? Вполне естественные вещи. Модель должна обладать решением, решение должно быть единственным и непрерывно зависеть от данных задачи. То есть математическая модель должна быть корректной. Это и есть предмет исследований прикладных математиков.

Вопросы корректности различных моделей механики часто формулируются в виде проблем (задач), многие из которых до сих пор ждут своего решения. Например, решение проблемы корректности математической модели, описывающей движение вязкой несжимаемой жидкости, оценено одним из неправительственных фондов США в один миллион долларов.

Такое понимание важности задач прикладной математики (как и математики в целом) в денежном выражении, особенно понятное массовому сознанию, пришло только в последнее время. Благодаря скандалу, связанному с присуждением Г. Перельману премии Филдса и пересудах о потерянных или не полученных миллионах долларов, люди вдруг поняли, что математика это не только сухая наука чудаков, но и что-то интригующее и даже иногда довольно прибыльное занятие.

О понимании важности задач прикладной математики на государственном уровне говорит и конкурс, объявленный королем Саудовской Аравии Абдаллой среди 40 лучших университетов мира. Он выделил 25 миллионов долларов США на 5 лет для создания центра Прикладной Математики именно в том университете, который выиграет грант. При этом предполагается готовая инфраструктура (помещения) и не предполагаются дорогостоящие эксперименты.

Можете теперь представить деньги, направленные на организацию только теоретических исследований? В те же 60-тые годы приходилось спорить даже с однокурсниками, которые занимались более "прикладными" задачами. Уже в это время сама прикладная математика разделилась на теоретическую и прикладную. Теоретическая прикладная математика, как ей и следовало, занималась вопросами корректности. А вот прикладная (в квадрате) математика сместилась ближе к механике, моделируя конкретные физические процессы и пытаясь с помощью дополнительных упрощающих аксиом получить достаточно простую математическую модель (уравнение), которая заведомо имеет решение. Конечно же, не все упрощающие аксиомы были как-то обоснованы, но в силу важности практической задачи на этот факт, как правило, закрывали глаза.

Основным аргументом "прикладников" с моего курса был следующий довод - зачем что-то доказывать, существование решения или его единственность, когда решение, вот оно, существует. Вода течет, уравнения, которые описывают это движение, выведены классиками и правильно отражают физический процесс. Что еще надо? То есть забывается тот очевидный (для теоретиков) факт, что корректность данной модели ни в коей мере не зависит от окружающей нас реальности. Математическая модель - это всего лишь идеальный объект, настолько близкий к реальности, насколько физические аксиомы правильно отражают реальный процесс.

К сожалению, такой взгляд на науку, когда вопросы корректности модели или ее адекватности не считаются существенными, существует до сих пор и даже у нас, в Белгородском университете. Мне приходилось беседовать с людьми в ранге докторов наук, одни из которых придерживались точки зрения, что исследования корректности математических моделей просто лишняя трата времени и усилий и никому не нужное занятие. Другие же незыблемо верили в написанные сто и более лет тому назад математические модели, особенно когда они уже реализованы в стандартные программы для ПК, и считали любую коррекцию существующих моделей совершенно излишней.

Общим местом стало упоминание математических моделей, доведенных до формул и широко используемых в повседневной жизни: в строительстве, метеорологии, аэрокосмической отрасли, кораблестроении. Но все еще много отраслей деятельности, в которых нет никаких математических моделей, или они существуют на примитивном полуэмпирическом уровне. Я уже не говорю о науках естественного цикла, где корректная математическая модель помогает понять суть физического явления и, быть может, избавить от многочисленных и дорогостоящих экспериментов.

Приведу несколько примеров из моей практики. Очень долгое время, начиная с моих студенческих лет, я занимался задачей Стефана, математической моделью, описывающей фазовые переходы. Такие, например, как "жидкое - твердое" или "твердое - твердое". Здесь были как чисто математические задачи, такие, как проблема существования классического решения, так и задачи физического моделирования конкретных процессов с дальнейшим исследованием возникающей математической проблемы.

В 1979 году мне удалось решить проблему существования классического решения и описать некоторые существенные свойства решений. Я доказал, что классические решения (грубо говоря, решения, в которых различные фазы разделены поверхностью фазового перехода) существуют не всегда и при определенных условиях такое решение может "выродиться" в обобщенное решение, в котором различные фазы будут разделены уже не поверхностью фазового перехода, а целой областью, занятую совершенно новой фазой. Эта "новая" фаза является и не жидкой и не твердой, а переходной.

Для физиков переходная фаза не явилась каким -то уж откровением. Они об этом "знали всегда". Да и в повседневной жизни мы часто сталкиваемся с подобным явлением. В русском языке даже есть такое слово - шуга. И не лед и не вода. Но вот при физическом моделировании возможность появления такой фазы никогда не принималась в расчет. В дальнейшем и сам термин (точнее его английский вариант "mushy region") и найденные свойства решений вошли в обиход и использовались в самых разнообразных приложениях.

А вот другой пример, когда исследование модели переохлажденной жидкости показало ее физическую неадекватность. Мне предложили исследовать задачу о таянии сферической льдинки, погруженной в переохлажденную воду. В результате долгих мучений удалось доказать, что единственным решением является процесс, в котором таяние льдинки заканчивается при вполне определенном радиусе, после которого льдинка моментально исчезает (поэтому и мучился, что нетривиальное решение!). Физически такой процесс не наблюдается, что и позволило заключить о физической неадекватности данной конкретной математической модели.

В описанных ситуациях я выступал как чистый математик. Но часто мне приходилось создавать математическую модель, начиная с "нулевого цикла", то есть с физического моделирования, поиска соответствующих физических постулатов (законов), описывающих данный процесс.

Сейчас на слуху термин "нанотехнологии". Он правильно отражает суть. Именно технологии, когда производство специальных материалов базируется не на точной математической модели, а на эмпирически полученных технологиях. Такое случалось не раз, и за примерами далеко ходить не надо. В 2003 году в Бонне в Центре Европейских современных исследований (Center of Advanced European Studies and Researchers, на английском эта аббревиатура читается как Цезарь) мне предложили промоделировать оптомеры. Их изобрели в этом же институте для определения концентрации примесей в растворах. Оптомер представляет собою тонкую пленку, толщиной в несколько молекул. И вот эта пленка может выхватывать из раствора молекулы примеси, но так, что в данной точке пленки может находиться только одна молекула. Со временем на пленке появляется пятно, размер которого можно измерить и этот размер как-то соответствует количеству примеси в растворе.

Необходима была математическая модель объясняющая образование пятна, его динамику и зависимость его размера от концентрации примеси. Попытка выяснить у создателей какие-то химические законы, описывающие взаимодействие оптомера с примесью, закончилась неудачей. Они просто ничего не могли предложить. У меня был только один месяц, и половину его я потратил на построение физической модели.

Самым трудным казалось описание отличительного свойства оптомера - связывать именно одну молекулу примеси. Вот здесь мне очень помогла одна чисто математическая теория физических процессов с гистерезисом. Этот процесс обычно описывался только словами. Никакой математики там не было совсем, пока за дело не взялся один из отцов - основателей знаменитой Воронежской школы математиков М. А. Красносельский. Созданная им теория нашла широкое применение в разнообразных приложениях, а его (совсем не простая) книга стала настольной для математиков, работающих в приложениях. Но это, физическое моделирование работы оптомера, было даже не полдела, а треть. Полученная модель была очень и очень неклассической, непривычной даже для математиков, в совершенстве владеющих современными методами теории дифференциальных уравнений.

Теория Красносельского нашла свое логическое завершение за рубежом, и российские математики остались в стороне. Мне же, работая за рубежом, приходилось использовать теорию гистерезиса при описании фазовых переходов. В конце концов, с помощью местных математиков (русских и по национальности, и по паспорту) нам удалось все завершить в срок.

Мораль этого примера - даже на этапе физического моделирования, помимо физической грамотности, необходима глубокая математическая подготовка. Не знай я такого слова как "гистерезис" и соответствующий ему математический аппарат, никогда бы не зацепился за такую странную идею.

Завершить заметки я хочу примером из моих последних исследований. В любой научной деятельности индивида вполне объяснимой является его миграция от одних задач к другим. Для меня, в силу схожести методов исследования, такой миграцией был переход от задач теории фазовых переходов к теории фильтрации подземных жидкостей и газов. Физические модели там были полуэмпирическими, но вот возникающие математические задачи были крайне трудными (если их решать в точной постановке). Одна из них, в России она называется задача Веригина, а на Западе the Muskat problem, была (и остается) совершенно неподдающейся анализу. С точки зрения возможных приложений задача Веригина очень важна, поскольку описывает вытеснение нефти водой в нефтяных резервуарах.

В те годы я был директором Центра Математики в одном из университетов Португалии (в отличии от России, эта должность общественная) и практически единолично распоряжался достаточно большими средствами, позволяющими приглашать математиков для совместной работы и платить им соответствующую заработную плату. Конечно же, большинство приглашенных было из России, но не потому что сам я оттуда. Российские математики всё ещё одни из лучших в мире.

Так вот, все эти совместные усилия так ни к чему и не привели. Оставался единственный выход - поменять физическую модель. Самым естественным было бы учесть одно из наиболее характерных свойств подземного грунта - его пористость и наполненность пор газом или жидкостью (помните фразу М.В. Ломоносова - "природа не терпит пустоты?"). Именно наличие пор и присутствие в них флюидов (флюидами геофизики и геологи называют и жидкости и газы) кардинально меняют свойства грунта. Это всегда понимали ведущие механики, занимавшиеся теорией фильтрации. Сдерживало такое моделирование отсутствие соответствующего математического аппарата и отсутствие надежных физических аксиом.

Существуют два принципиально разных способа физического моделирования процессов в сплошных средах. Первый - это моделирование на "микро" - уровне, когда учитывается движение жидкости в порах и ее взаимодействие с твердым скелетом грунта. Теоретически такая модель корректна, но ее практическая реализация невозможна. В полученной системе уравнений коэффициенты меняются в пределах от нуля до единицы (еще говорят, осциллируют) на масштабе в несколько микрон, тогда как область, в которой изучается процесс, имеет размеры в несколько километров. Поэтому в таких задачах естественным считается метод упрощения модели, называемый усреднением.

Второй подход, так называемое "макро" - моделирование, базируется на представлении сплошной среды некоторым уже усредненным конгломератом, в каждой точке которого присутствует и флюид и твердый скелет. Если в первом подходе все физические аксиомы ясны и общеприняты, и основная трудность чисто математическая, то во втором подходе основная проблема заключается в выборе физических аксиом и экспериментальном определении эмпирических постоянных физической модели.

Я, как математик, конечно же, остановился на первом способе, предполагая воспользоваться недавними очень глубокими результатами камерунского математика Г. Нгуетсенга в теории усреднения. К несчастью (для моей модели, но не для меня),я оказался вначале в России, а потом в Пакистане, где, в отличие от Европы, нет хороших библиотек и почти совсем нет научных журналов ("взламывать" сайты западных университетов я не умел). Пришлось все сочинять самому, поскольку расспросы всех моих знакомых ничего не дали.

Как и следовало ожидать, сочиненная с таким трудом модель оказалось уже выведенной 25 лет тому назад одним из ведущих механиков Дж. Келлером, а "макро" - модель была предложена известным американским инженером М. Био и того раньше - в 1956 году. Замечу, что эти ученые одни из лучших. В Америке есть музей М. Био и большой научно - исследовательский институт его имени.

Просто все это было сделано в науке, очень далекой от меня и называемой сейсмоакустикой. Как и механики, понимавшие важность учета упругих свойств грунта на движение флюидов, ученые, работавшие в геофизике, понимали необходимость учета влияния флюидов на свойства упругого скелета грунта. Итак, математическая модель получена, более того, для модели на "микро" - уровне серьезными математиками были доказаны и кое-какие строгие математические результаты об усреднении. Спас меня от сильного потрясения (это же несколько лет работы коту под хвост!) тот факт, что люди, придумавшие модель, не были математиками, а учёные, получившие кое-какие строгие результаты, не были прикладными математиками, то есть не были знакомы с принципами физического и математического моделирования. Поэтому вне зоны их исследований остался не только основной пласт математических проблем, но и единое видение задач как в фильтрации так и в сейсмоакустике.

Таким образом, для небольшого коллектива, который складывается на кафедре прикладной математики и механики БелГУ, открывается широкий фронт интересных и важных задач как теоретического, так и прикладного характера. Мораль же последнего примера - классический прикладной математик помимо фундаментального образования в математике должен иметь фундаментальное образование как минимум в механике.

Получается слишком много - и математика и механика. Но, наверное, ничего здесь не поделаешь. Таково уж веяние времени: чтобы соответствовать современным задачам в прикладной математике необходимо современное фундаментальное образование, то которое давали своим выпускникам лучшие университеты Советского Союза в расцвет эпохи застоя.

И последнее. Развитие любой науки в современных условиях невозможно без кооперации с математиками, то есть без развития математики, приложенной в биологии, экономике или химии. Это очевидно с общенаучной точки зрения. Руководство университета заинтересовано в таком сотрудничестве. В процессе обучения будущих специалистов ректорат уже сделал свой выбор - это кластерная система обучения. Что же касается научных исследований, то на встрече с ведущими учеными факультета математики и информационных технологий ректор БелГУ Л. Я. Дятченко предложил организовать междисциплинарный научный семинар, основной задачей которого была бы именно интеграция усилий ученых университета.

Математики БелГУ не страдают от недостатка задач, важных или не очень (кто здесь судья?), интересных или не очень, но они всегда открыты для сотрудничества. Дело теперь за малым - готовности других ученых БелГУ к реальной кооперации в научных исследованиях.